Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120 °. Высота треугольника, проведённая из вершины А, равна 7. Найдите длину стороны АС.
Ответ:
Краткое пояснение:
Сначала строим чертёж, рассматриваем прямоугольный треугольник, находим угол, а затем и половину стороны AC. Удваиваем результат, чтобы получить всю сторону AC.
- Нарисуем чертёж:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, где AH - высота, проведённая из вершины A к боковой стороне BC.
- Угол \(\angle ABH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) (так как углы \(\angle ABC\) и \(\angle ABH\) смежные).
- Тогда угол \(\angle BAH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\) (сумма углов в прямоугольном треугольнике равна 90°).
- В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, гипотенуза AB = 2 * BH.
- Пусть BH = x, тогда AB = 2x. По теореме Пифагора: \[AH^2 + BH^2 = AB^2\] \[7^2 + x^2 = (2x)^2\] \[49 + x^2 = 4x^2\] \[3x^2 = 49\] \[x^2 = \frac{49}{3}\] \[x = \frac{7}{\sqrt{3}}\]
- Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC. Высота, проведённая к основанию, является также медианой. Опустим высоту из вершины B на сторону AC, пусть это будет точка D. Тогда AD = DC, и AC = 2 * AD.
- Рассмотрим треугольник ABD. Угол \(\angle ABD = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\). Тогда: \[AD = AB \cdot \sin(\angle ABD) = AB \cdot \sin(60^\circ)\] \[AD = \frac{7}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}}{2}\]
- Тогда AC = 2 * AD: \[AC = 2 \cdot \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}\]
Проверка за 10 секунд: Сторона AC равна \(\frac{14\sqrt{3}}{3}\), потому что, найдя BH и используя свойства прямоугольного треугольника, мы нашли AD, а затем удвоили её, чтобы получить AC.
Доп. профит:
Похожие
