7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла А, если DB = 8, а BC=16.

В прямоугольном треугольнике ABC, CD – высота, опущенная из вершины прямого угла C на гипотенузу AB. Рассмотрим треугольник BCD. Он прямоугольный (угол CDB равен 90 градусов). sin(∠CBD) = CD / BC Так же можно рассмотреть как sin(∠A) = BC/AB Но что нам это даст? Рассмотрим треугольник ABC, в котором CD - высота. Из прямоугольного треугольника BCD: $$\sin(\angle B) = \frac{CD}{BC}$$ Из прямоугольного треугольника ABC: $$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$$ Из прямоугольного треугольника ACD: $$\sin(\angle A) = \frac{CD}{AC}$$ $$\cos(\angle A) = \frac{AD}{AC}$$ В данном случае можно сказать, что \angle B = 90 - A, значит \sin(B) = \cos(A) $$\cos(\angle A) = \frac{BC}{AB} => \cos(\angle A) = \frac{16}{8+AD}$$ $$\frac{CD}{BC}=\frac{16}{8+AD}$$ С другой стороны из т. Пифагора: $$\sqrt{BC^2-DB^2} = CD$$, то есть $$\sqrt{16^2-DB^2} = CD$$ $$\sqrt{256-DB^2} = CD$$ Второй треугольник \sqrt{AC^2-AD^2} = CD$$ $$\sqrt{AC^2-AD^2} = \sqrt{256-DB^2}$$ Можно сразу найти косинус угла B из треугольника BCD: $$\cos B = DB/BC= 8/16 = 1/2$$. Значит угол B = 60 градусов. А угол A = 90 - 60 = 30 градусов. Ответ: 30