4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника АВМ равен 32 см.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Так как основание треугольника АВС - ВС, то АВ = АС.

Периметр треугольника АВС равен сумме длин всех его сторон: $$P_{ABC} = AB + BC + AC$$.

Так как АВ = АС, то $$P_{ABC} = AB + BC + AB = 2AB + BC$$.

По условию, периметр треугольника АВС равен 40 см: $$2AB + BC = 40$$ (1)

АМ - медиана, следовательно, ВМ = МС, значит $$BC = 2BM$$.

Периметр треугольника АВМ равен сумме длин всех его сторон: $$P_{ABM} = AB + BM + AM$$.

По условию, периметр треугольника АВМ равен 32 см: $$AB + BM + AM = 32$$ (2)

Выразим из уравнения (1) сторону ВС: $$BC = 40 - 2AB$$.

Тогда $$BM = \frac{BC}{2} = \frac{40 - 2AB}{2} = 20 - AB$$.

Подставим полученное выражение в уравнение (2): $$AB + (20 - AB) + AM = 32$$.

$$20 + AM = 32$$.

$$AM = 32 - 20 = 12$$ см.

Ответ: 12 см