В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10см, а биссектриса, проведенная к основанию 8см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 10 см, а биссектриса BD, проведенная к основанию AC, равна 8 см. Так как в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, также является высотой и медианой, то BD ⊥ AC и AD = DC.

1. Найдем длину основания AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

$$AD^2 + BD^2 = AB^2$$

$$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$$

$$AD = sqrt{36} = 6 ext{ см}$$

Так как AD = DC, то AC = 2 * AD = 2 * 6 = 12 см.

2. Найдем радиус вписанной окружности (r). Для этого используем формулу:

$$r = rac{2S}{P}$$

где S — площадь треугольника, P — периметр треугольника.

Площадь треугольника ABC можно найти как:

$$S = rac{1}{2} cdot AC cdot BD = rac{1}{2} cdot 12 cdot 8 = 48 ext{ см}^2$$

Периметр треугольника ABC равен:

$$P = AB + BC + AC = 10 + 10 + 12 = 32 ext{ см}$$

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

$$r = rac{2 cdot 48}{32} = rac{96}{32} = 3 ext{ см}$$

3. Найдем радиус описанной окружности (R). Для этого используем формулу:

$$R = rac{abc}{4S}$$

где a, b, c — стороны треугольника, S — площадь треугольника.

В нашем случае a = 10 см, b = 10 см, c = 12 см, S = 48 см².

$$R = rac{10 cdot 10 cdot 12}{4 cdot 48} = rac{1200}{192} = rac{25}{4} = 6.25 ext{ см}$$

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 3 см, радиус описанной окружности равен 6.25 см.