В равнобедренном треугольнике с периметром 54 длина боковой стороны относится к длине основания как 7:4. Найдите длину основания.

Пусть (a) – длина боковой стороны, а (b) – длина основания равнобедренного треугольника. Периметр треугольника (P) равен сумме длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Из условия задачи известно, что: 1. (P = 54) 2. \(\frac{a}{b} = \frac{7}{4}\) Нам нужно найти длину основания (b). Выразим (a) через (b) из второго уравнения: \[a = \frac{7}{4}b\] Периметр равнобедренного треугольника можно выразить формулой: \[P = 2a + b\] Подставим известные значения в формулу периметра: \[54 = 2 \cdot \frac{7}{4}b + b\] Упростим уравнение: \[54 = \frac{14}{4}b + b\] \[54 = \frac{7}{2}b + b\] Приведем к общему знаменателю: \[54 = \frac{7}{2}b + \frac{2}{2}b\] \[54 = \frac{9}{2}b\] Теперь найдем (b): \[b = 54 \cdot \frac{2}{9}\] \[b = \frac{54 \cdot 2}{9}\] \[b = \frac{108}{9}\] \[b = 12\] Итак, длина основания равнобедренного треугольника равна 12. Ответ: 12