550. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к боковой стороне, равна 8 см. Она делит боковую сторону на два отрезка, один из которых, прилежащий к вершине равнобедренного треугольника, равен 6 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, BH - высота, проведенная к стороне AC, BH = 8 см. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см, а отрезок, прилежащий к вершине равнобедренного треугольника, равен 6 см.

Пусть высота AE проведена к боковой стороне BC, тогда BE = 6 см. Тогда EC = BC - BE.

Площадь треугольника можно найти двумя способами:

$$S = \frac{1}{2}AC \cdot BH = \frac{1}{2}BC \cdot AE$$

Найдём AE из прямоугольного треугольника ABE:

$$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{AB^2 - 64}$$

Так как треугольник равнобедренный, AB=BC.

Выразим BC через AE:

$$S = \frac{1}{2}AC \cdot BH = \frac{1}{2}BC \cdot AE$$

$$8AC = BC \cdot AE$$

$$AC = \frac{BC \cdot AE}{8}$$

$$AE = \sqrt{BC^2 - 36}$$

Рассмотрим треугольник AEC, он прямоугольный.

$$AC^2 = AE^2 + EC^2$$

$$AC^2 = AE^2 + (BC - 6)^2$$

$$AC = \frac{BC \cdot AE}{8}$$. Тогда $$(\frac{BC \cdot AE}{8})^2 = AE^2 + (BC - 6)^2$$

$$\frac{BC^2 \cdot AE^2}{64} = AE^2 + BC^2 - 12BC + 36$$

$$BC^2 - 36 = AE^2$$, тогда $$\frac{BC^2 \cdot (BC^2 - 36)}{64} = BC^2 - 36 + BC^2 - 12BC + 36$$

$$\frac{BC^2 \cdot (BC^2 - 36)}{64} = 2BC^2 - 12BC$$

$$BC^2 \cdot (BC^2 - 36) = 64 \cdot (2BC^2 - 12BC)$$

$$BC^4 - 36BC^2 = 128BC^2 - 768BC$$

$$BC^3 - 36BC = 128BC - 768$$

$$BC^3 - 164BC + 768 = 0$$

Решая это уравнение, получим корень BC = 8.

$$BC = 8$$, тогда $$AE = \sqrt{8^2 - 36} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$

$$AC = \frac{BC \cdot AE}{8}$$, $$AC = \frac{8 \cdot 2\sqrt{7}}{8} = 2\sqrt{7}$$

Ответ: $$2\sqrt{7}$$ см.