4. В равнобедренной трапеции ABCD BC|| AD известно, что АВ = CD = 13 см, ВС = 6 см, AD = 16 см. Найдите: а) Высоту трапеции ВН. б) Синус угла А трапеции.

а) Проведем высоты BH и CK. Так как трапеция равнобедренная, AH = KD. Найдем AH:

$$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

б) Синус угла A равен отношению противолежащего катета (BH) к гипотенузе (AB):

$$sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{13} \approx 0.923$$

Ответ: а) 12 см, б) 12/13