3.В равнобедренной трапеции АBCD боковая сторона АВ равна 14 см, биссектриса угла В параллельна стороне CD. Периметр трапеции равен 60 см. Найти ВС и AD.

В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD) биссектриса угла B параллельна стороне CD, AB = 14 см, P = 60 см. Найти BC и AD.

Решение:

1. Так как биссектриса угла B параллельна CD, то угол между биссектрисой и AB равен углу между CD и биссектрисой как соответственные. Обозначим угол между биссектрисой и AB за x. Тогда угол ABC = 2x.
2. Так как трапеция равнобедренная, то угол BCD = углу ABC = 2x. Сумма углов BCD и ADC равна 180 градусов, следовательно, угол ADC = 180 - 2x.
3. Так как биссектриса параллельна CD, то внутренние накрест лежащие углы равны. Угол между биссектрисой и BC равен углу BCD = 2x. Но угол между биссектрисой и AB равен x, значит x = 2x, следовательно x = 0. Такого быть не может.

Если биссектриса угла B пересекает сторону CD в точке E и BE || CD, то образуется параллелограмм BCDE, в котором BC = DE и CD = BE.

1. Так как BE – биссектриса угла B, то угол ABE = углу CBE. Так как BE || CD, то угол BEC = углу BCE как внутренние накрест лежащие.
2. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, т.е. угол ABC = углу BCD. Следовательно, угол CBE = углу BCE, а значит, треугольник BCE равнобедренный и BE = BC.
3. Тогда CD = BC, а трапеция ABCD – параллелограмм. Но AD не может быть параллельна BC.

Пусть биссектриса угла B пересекает сторону AD в точке E.

1. Трапеция ABCD равнобедренная, следовательно AB = CD = 14 см.
2. Периметр трапеции P = AB + BC + CD + AD = 60 см. Тогда BC + AD = 60 - 14 - 14 = 32 см.
3. Так как BE - биссектриса, то угол ABE = углу CBE. Угол CBE = углу AEB как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BE. Следовательно, угол ABE = углу AEB, значит, треугольник ABE равнобедренный и AB = AE = 14 см.
4. Проведем высоту BF. Треугольник ABF равен треугольнику CDE. АЕ = (AD-BC). Так как треугольник АВЕ равнобедренный, то AD-ВС=АВ
5. Пусть х = AD и у = ВС, тогда x + y = 32 и x - y = 14.
6. Решим систему уравнений: x = 23, y = 9.

Ответ: BC = 9 см, AD = 23 см.