В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции, если угол CAD = 30°, AD=12 см.

Давай решим эту задачу вместе. Нам дана равнобедренная трапеция ABCD, у которой диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Нам нужно найти площадь трапеции, если угол CAD равен 30 градусам, а основание AD равно 12 см.

1. Изобразим трапецию и отметим известные данные.

Нарисуем равнобедренную трапецию ABCD, где AD - большее основание, BC - меньшее основание, AB = CD, и диагональ AC перпендикулярна CD. Угол CAD = 30°, AD = 12 см.

2. Найдем угол ADC.

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании AD равны. Следовательно, угол ADC = угол BAD.

3. Выразим угол BAC через угол CAD.

Угол BAD = угол BAC + угол CAD. Мы знаем, что угол CAD = 30°, поэтому угол BAD = угол BAC + 30°.

4. Рассмотрим треугольник ACD.

В треугольнике ACD угол ACD = 90° (так как AC перпендикулярна CD). Тогда угол DAC + угол ADC = 90° (сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°). Так как угол CAD = 30°, то угол ADC = 90° - 30° = 60°.

5. Найдем угол BAD.

Мы знаем, что угол ADC = угол BAD, следовательно, угол BAD = 60°.

6. Найдем угол BAC.

Угол BAC = угол BAD - угол CAD = 60° - 30° = 30°.

7. Сделаем вывод об углах треугольника ABC.

В треугольнике ABC угол BAC = 30°, угол BCA = углу CAD = 30° (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC). Значит, треугольник ABC - равнобедренный, и AB = BC.

8. Найдем CD.

Рассмотрим треугольник ACD. CD = AD * sin(CAD) = 12 * sin(30°) = 12 * (1/2) = 6 см.

9. Так как AB = CD, то найдем BC.

BC = AB = CD = 6 см.

10. Проведем высоту CE.

Проведем высоту CE из вершины C к основанию AD. Тогда AE = (AD - BC) / 2 = (12 - 6) / 2 = 3 см.

11. Найдем высоту CE.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACE. CE = AE * tg(DAE) = 3 * tg(60°) = 3 * √3 см.

12. Вычислим площадь трапеции.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{AD + BC}{2} * CE = \frac{12 + 6}{2} * 3\sqrt{3} = \frac{18}{2} * 3\sqrt{3} = 9 * 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$$

Ответ: Площадь трапеции равна $$27\sqrt{3}$$ квадратных сантиметров.