В равнобедренной трапеции ABCD проведены диагонали, пересекающиеся в точке E. а) Докажите, что треугольник ABD равен треугольнику ACD. б) Найдите основание AD, если периметр равен 42 см, AB = 5 см, а основание BC в 2 раза меньше AD.

а) В равнобедренной трапеции боковые стороны равны: \(AB=CD\). Диагонали равны: \(BD=AC\). Сторона \(AD\) общая для треугольников \(ABD\) и \(ACD\). Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

б) В равнобедренной трапеции \(AB=CD=5\) см. Пусть \(AD=x\) см. Тогда \(BC=\frac{x}{2}\) см.

Составим уравнение по формуле периметра:

\(x+\frac{x}{2}+5+5=42\).

\(\frac{3x}{2}=32\), откуда \(x=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}\).

Ответ: а) \(\triangle ABD=\triangle ACD\); б) \(AD=21\frac{1}{3}\) см.