В равнобедренной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) \(O\) – точка пересечения диагоналей, угол \(CAD\) равен \(41^\circ\). Чему равен угол \(BOA\)? Ответ дайте в градусах.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Значит, \(\angle BAD = \angle CDA\). Также, так как трапеция равнобедренная, то \(AB = CD\) и диагонали равны, то есть \(AC = BD\). 1. Рассмотрим треугольник \(AOD\). Угол \(\angle CAD = 41^\circ\). Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle BCA = \angle CAD = 41^\circ\) как накрест лежащие углы. 2. Рассмотрим треугольник \(AOB\). Угол \(\angle OAB = \angle BAC\) и \(\angle OBA = \angle ABC\). 3. Найдем \(\angle BAC\). В равнобедренной трапеции \(\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\). Пусть \(\angle BAD = x\), тогда \(\angle ABC = 180^\circ - x\). Угол \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD\), значит, \(x = \angle BAC + 41^\circ\), следовательно, \(\angle BAC = x - 41^\circ\). 4. Теперь рассмотрим треугольник \(ABO\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle BOA = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA)\). \(\angle OAB = \angle BAC = x - 41^\circ\). \(\angle OBA = \angle ABC - \angle OBC\). Так как \(\angle OBC = \angle OCA = 41^\circ\) (как накрест лежащие при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AC\)), то \(\angle OBA = 180^\circ - x - 41^\circ = 139^\circ - x\). 5. Подставляем найденные углы в формулу для \(\angle BOA\): \(\angle BOA = 180^\circ - (x - 41^\circ + 139^\circ - x) = 180^\circ - (180^\circ - 82^\circ) = 82^\circ\). Ответ: 82