Рассмотрим равнобедренную трапецию (ABCD) с основаниями (AD) и (BC). Известно, что (\angle CAD = 34^\circ). Требуется найти (\angle ADB).
Так как трапеция (ABCD) равнобедренная, то (AB = CD) и (\angle BAD = \angle CDA).
Углы (\angle CAD) и (\angle BCA) являются накрест лежащими при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AC), следовательно, (\angle BCA = \angle CAD = 34^\circ).
Рассмотрим треугольник (ACD). Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании (AD) равны, то есть (\angle BAD = \angle CDA). Также, (\angle BAC = \angle BDA) как накрест лежащие углы при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AB).
Пусть (\angle ADB = x). Тогда (\angle BAC = x). Следовательно, (\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = x + 34^\circ).
Так как (\angle BAD = \angle CDA), то (\angle CDA = x + 34^\circ). В треугольнике (ACD) сумма углов равна (180^\circ). Поэтому, (\angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ).
Известно, что (\angle CAD = 34^\circ). Также, (\angle ACD = \angle ACB + \angle BCD). Поскольку углы при основании равнобедренной трапеции равны, то (\angle ABC = \angle BCD = y), и (\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ). Получаем (x + 34^\circ + y = 180^\circ).
Так как (\angle CDA = x + 34^\circ), то получаем уравнение: (34^\circ + (x + 34^\circ) + \angle ACD = 180^\circ).
Заметим, что (\angle ACB = \angle CAD = 34^\circ). Тогда (\angle BCD = \angle ABC = y). Поскольку (\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ), то (x + 34^\circ + y = 180^\circ).
Так как (\angle CDA = x + 34^\circ), то (\angle ADB = x). Углы (\angle BCA) и (\angle CAD) равны, поэтому (\angle BCA = 34^\circ).
Рассмотрим треугольник (ACD). Сумма углов в треугольнике равна 180°. (\angle CAD = 34^\circ). (\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC). Поскольку трапеция равнобедренная, (\angle CDA = \angle DAB).
(\angle CAB = \angle CDB). (\angle CAD = \angle ACB = 34^\circ).
Пусть (\angle ADB = x), тогда (\angle CAB = x). (\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 34^\circ + x). (\angle CDA = \angle DAB = 34^\circ + x).
В треугольнике (ABD) сумма углов (\angle DAB + \angle ABD + \angle BDA = 180^\circ). В трапеции (\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ).
(\angle BAD = x + 34^\circ). (\angle ABC = 180^\circ - (x + 34^\circ)).
В треугольнике (ACD): (\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ). (34^\circ + \angle ACD + x + 34^\circ = 180^\circ). (\angle ACD = 180^\circ - 68^\circ - x). (\angle ACD = 112^\circ - x).
(\angle ACB = 34^\circ), следовательно, (\angle BCD = \angle ACD - \angle ACB = 112^\circ - x - 34^\circ = 78^\circ - x).
В трапеции (\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ). (78^\circ - x + 34^\circ + x = 180^\circ). Это неверно.
Так как трапеция равнобедренная, то (\angle CAD = \angle BCA = 34^\circ). (\angle ADB = \angle CBD). Пусть (\angle ADB = x).
Тогда (\angle ADC = \angle DAB). (\angle DAC = 34^\circ). Пусть (\angle CAB = y). Тогда (\angle DAB = 34^\circ + y).
(\angle CDB = y). Значит, (\angle ADC = x + y = 34^\circ + y). Отсюда, x = 34°.
Ответ: 34