В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол CAD равен 36°, O — точка пересечения диагоналей. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, следовательно, ∠BAD = ∠CDA, а также ∠ABC = ∠BCD.

Рассмотрим треугольник AOD. Угол OAD = ∠CAD = 36°. Так как трапеция равнобедренная, то диагонали AC и BD равны, а значит, треугольник BOC равнобедренный (BO=CO). Отсюда следует, что углы ∠OBC = ∠OCB.

Угол ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD. Угол ∠BAD найдем из суммы углов трапеции: ∠BAD + ∠ADC + ∠DCB + ∠CBA = 360°. Так как углы при основании равны, то 2∠BAD + 2∠ABC = 360°, или ∠BAD + ∠ABC = 180°.

Угол ∠BCA = ∠BCO + ∠OCA = ∠BCO + ∠DAO (поскольку трапеция равнобедренная, ∠OCA = ∠DAO).

Рассмотрим треугольник ABC. В нем ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Заменим ∠BCA на ∠BCO + ∠DAO, тогда ∠BAC + ∠ABC + ∠BCO + ∠DAO = 180°.

Так как ∠ABC = ∠BAD, а ∠DAO = 36°, то ∠BAC + ∠BAD + ∠BCO + 36° = 180°.

∠AOD = 180° - (∠OAD + ∠ODA)

Рассмотрим треугольник ABC. ∠BAC+∠ABC+∠BCA=180. ∠CAD=∠BCA=36 (Т.к. ABCD равнобедренная трапеция), ∠ABC=∠BCD

∠AOD=∠BOC (Вертикальные). ∠BOC=180-2*∠OBC

∠ABC=180-2*36=108 градусов. Угол ∠AOD=180-2*36=108 градусов.

Ответ: 108