В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 54°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Значит, \( \angle D = \angle C = 54^{\circ} \) и \( \angle BAC = \angle BAD \).

Угол \( \angle BAD = \angle ABC \).

Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна \( 180^{\circ} \). Поэтому \( \angle BAD + \angle D = 180^{\circ} \).

\( \angle BAD = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).

Так как \( AC \) — биссектриса \( \angle BAD \), то \( \angle BAC = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 126^{\circ} = 63^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \). \( \angle ABC = 126^{\circ} \). Сумма углов треугольника \( 180^{\circ} \).

\( \angle BCA = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle BAC = 180^{\circ} - 126^{\circ} - 63^{\circ} \) - это ошибка, так как \( \angle ABC \) — это угол при основании, а \( \angle BAD \) — при другом основании.

Вернемся к \( \angle BAD = 126^{\circ} \). Тогда \( \angle ABC = 126^{\circ} \). Это тупые углы, что не соответствует чертежу. В равнобедренной трапеции углы при большем основании острые, а при меньшем — тупые. По чертежу \( \angle D \) — острый, значит, это угол при большем основании. Следовательно, \( \angle A = \angle B \) — тупые, а \( \angle C = \angle D \) — острые.

Переформулируем: \( \angle D = 54^{\circ} \). В равнобедренной трапеции \( \angle C = \angle D = 54^{\circ} \). \( \angle BAD = \angle ABC = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).

\( AC \) — биссектриса \( \angle BAD \). Значит, \( \angle BAC = \angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 126^{\circ} = 63^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( ACD \). Мы знаем \( \angle CAD = 63^{\circ} \) и \( \angle D = 54^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике \( ACD \) равна \( 180^{\circ} \). Поэтому \( \angle ACD = 180^{\circ} - \angle CAD - \angle D = 180^{\circ} - 63^{\circ} - 54^{\circ} = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ} \).

Ответ: 63°.