3 В равнобедренной трапе- ции боковая сторона равна 10 см, диагональ — 17 см, а разность оснований — 12 см. Найдите площадь трапеции.

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB = CD = 10 см, AC = 17 см, AD - BC = 12 см. Проведём высоты BH и CK. Тогда HK = BC, AH + KD = AD - BC = 12 см. Так как трапеция равнобедренная, то AH = KD = 12/2 = 6 см.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

$$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$

BH = √64 = 8 см.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ACK. Пусть CK = BH = 8 см, AK = AH + HK, тогда AK = 6 + BC. По теореме Пифагора: $$AC^2 = AK^2 + CK^2 = (6 + BC)^2 + 8^2 = 17^2$$

$$36 + 12BC + BC^2 + 64 = 289$$

$$BC^2 + 12BC + 100 = 289$$

$$BC^2 + 12BC - 189 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-189) = 144 + 756 = 900$$ $$\sqrt{D} = 30$$ $$BC_1 = \frac{-12 + 30}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$BC_2 = \frac{-12 - 30}{2} = \frac{-42}{2} = -21$$ (не подходит, т.к. длина не может быть отрицательной).

BC = 9 см, AD = BC + 12 = 9 + 12 = 21 см.

4) Площадь трапеции ABCD равна: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{9 + 21}{2} \cdot 8 = \frac{30}{2} \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120 \text{ см}^2$$

Ответ: 120 см²