В равнобедренной трапеции большее основание равно 40, боковая сторона равна 2, прямые, содержащие боковые стороны, пересекаются под углом 60°. Найдите меньшее основание.

Пусть большее основание трапеции равно $$a = 40$$, боковая сторона равна $$b = 2$$, а угол между боковыми сторонами равен $$60^\circ$$. Обозначим меньшее основание трапеции через $$c$$. Так как трапеция равнобедренная, углы при большем основании равны $$\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$$. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Тогда большее основание разбивается на три отрезка: $$x$$, $$c$$, и $$x$$, где $$x$$ - длина отрезка, прилежащего углу $$60^\circ$$ и боковой стороне. Получаем, что $$a = c + 2x$$, откуда $$x = \frac{a - c}{2}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком $$x$$. В этом треугольнике $$\cos(60^\circ) = \frac{x}{b}$$. Так как $$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$$, то $$\frac{1}{2} = \frac{x}{2}$$, следовательно, $$x = 1$$. Теперь подставим $$x = 1$$ в выражение для $$a$$: $$40 = c + 2(1)$$, $$40 = c + 2$$, $$c = 40 - 2 = 38$$. Ответ: 38