3. В равнобедренной трапеции один из углов равен $$60^\circ$$, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание - 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, где $$BC$$ - меньшее основание, $$BC = 7$$ см, $$AB = CD = 8$$ см, и $$\angle A = 60^\circ$$. Нужно найти среднюю линию трапеции.

Опустим высоты $$BH$$ и $$CF$$ на основание $$AD$$. Тогда $$AH = FD$$. Рассмотрим треугольник $$ABH$$. Он прямоугольный, и $$\angle A = 60^\circ$$. Значит, $$ H = AB \cdot \cos{A} = 8 \cdot \cos{60^\circ} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}.$$

Так как $$BCFH$$ - прямоугольник, то $$HF = BC = 7$$ см.

Тогда $$AD = AH + HF + FD = 4 + 7 + 4 = 15$$ см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$ m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11 \text{ см}.$$

Ответ: Средняя линия трапеции равна 11 см.