9. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции. 4 450 8

Пусть дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, основания которой $$BC = 4$$ и $$AD = 8$$, а угол при основании $$\angle BAD = 45^\circ$$.

Проведем высоты $$BH$$ и $$CK$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AH = KD$$. Так как трапеция равнобедренная, то $$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8-4}{2} = 2$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. В нем $$\angle BAH = 45^\circ$$, значит $$\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$, то есть треугольник $$ABH$$ равнобедренный. Следовательно, $$BH = AH = 2$$.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$$ S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{4+8}{2} \cdot 2 = 12 $$

Ответ: 12