3. В равнобедренной трапеции основания равны 5 и 9, а один из углов равен 45° (см. рис. 102). Найдите площадь трапеции. 5 45° 9 Рис. 102.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD = 9, BC = 5, угол A = 45°.

Проведём высоты BH и CE.

Тогда AH = ED = (AD - BC)/2 = (9 - 5)/2 = 4/2 = 2.

Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, угол A = 45°, значит, угол ABH = 90° - 45° = 45°, то есть треугольник ABH равнобедренный.

Следовательно, BH = AH = 2.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

$$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$

где $$a$$ и $$b$$ - основания трапеции, а $$h$$ - высота трапеции.

$$S = \frac{5 + 9}{2} \cdot 2 = \frac{14}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2 = 14$$

Ответ: 14