В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Дано: равнобедренная трапеция. Основания \( a=5 \) (большее), \( b=3 \) (меньшее). Угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) — высота трапеции.

Опустим высоту из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника. В каждом из них один угол равен \( 45^{\circ} \), значит, второй острый угол равен \( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Это означает, что прямоугольные треугольники равнобедренные.

Разность оснований равна \( a - b = 5 - 3 = 2 \). Эта разность делится поровну между двумя основаниями прямоугольных треугольников: \( 2 : 2 = 1 \).

Значит, катет, прилежащий к углу \( 45^{\circ} \) (который равен высоте \( h \)) и катет, противолежащий этому углу (который равен \( 1 \)), равны.

Таким образом, высота трапеции \( h = 1 \).

Теперь вычислим площадь:

\[ S = \frac{5+3}{2} \cdot 1 = \frac{8}{2} \cdot 1 = 4 \cdot 1 = 4 \]

Ответ: 4