12. В равнобедренной трапеции высота равна 5, меньшее основание 6, угол при большем основании 45°. Найдите большее основание.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где BC - меньшее основание, AD - большее основание, BH - высота, проведенная из вершины B к основанию AD. Дано, что BH = 5, BC = 6, и \(\angle A = 45^\circ\). Поскольку трапеция равнобедренная, углы при большем основании равны, то есть \(\angle A = \angle D = 45^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В этом треугольнике \(\angle A = 45^\circ\), следовательно, \(\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Таким образом, треугольник ABH равнобедренный, и AH = BH = 5. Так как трапеция равнобедренная, отрезки AH и DK, где DK - высота, проведенная из вершины D к основанию AD, равны. Значит, AH = DK = 5. Тогда большее основание AD можно найти как сумму меньшего основания BC и двух отрезков AH и DK: AD = BC + AH + DK = 6 + 5 + 5 = 16