В равнобедренную трапецию ABCD с острым углом 60° можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если средняя линия трапеции равна 24.

Решение: 1. Пусть дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, в которую вписана окружность. $$\angle BAD = 60^\circ$$. Средняя линия трапеции равна 24. Необходимо найти радиус окружности, вписанной в трапецию. 2. Так как в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон трапеции равны: $$AB + CD = AD + BC$$. Поскольку трапеция равнобедренная, $$AB = CD$$, $$AD = BC$$. Следовательно, $$2AB = 2BC$$, и $$AB = BC = CD = AD$$. 3. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$m = \frac{BC + AD}{2} = 24$$. Так как $$BC = AD$$, то $$m = \frac{2BC}{2} = BC = AD = 24$$. 4. Проведем высоту $$BH$$ из вершины $$B$$ на основание $$AD$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. $$\angle BAH = 60^\circ$$. Тогда $$BH = AB \cdot sin(60^\circ)$$. 5. Так как в трапецию вписана окружность, то высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, т.е. $$BH = 2r$$. 6. Найдем $$AH$$. $$AH = AB \cdot cos(60^\circ)$$. Так как трапеция равнобедренная, то $$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{24 - BC}{2} $$. Но $$AB = AD = 24$$. 7. $$AH = 24 \cdot cos(60^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$$. 8. Следовательно, $$AD - BC = 2AH = 24$$, но $$AD = 24$$. Значит, $$BC = AD - 2AH = 24 - 2(12) = 24 -24= 0$$. Это противоречит условию задачи, что ABCD - трапеция. 9. Проведем высоту $$BK$$ из вершины $$B$$ на сторону $$AD$$. Рассмотрим треугольник $$ABK$$. $$AK = \frac{AD-BC}{2}$$. Так как $$AD+BC = AB+CD$$, а трапеция равнобедренная, $$AB = CD$$, то $$AD+BC = 2AB$$, откуда $$AB = \frac{AD+BC}{2} = 24$$. 10. Из прямоугольного треугольника $$ABK$$ имеем $$BK = AB \sin{60^\circ} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3}$$. Так как в трапецию вписана окружность, то высота равна двум радиусам: $$BK = 2r$$. Следовательно, $$2r = 12\sqrt{3}$$, а $$r = 6\sqrt{3}$$. Ответ: Радиус окружности равен $$6\sqrt{3}$$. Развёрнутый ответ: В данной задаче рассматривается равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность. Известно, что острый угол при основании трапеции равен 60°, а средняя линия трапеции равна 24. Наша задача — найти радиус окружности, вписанной в трапецию. Для начала, стоит вспомнить свойства трапеций, в которые можно вписать окружность. Основное свойство заключается в том, что сумма противоположных сторон такой трапеции равна. В равнобедренной трапеции это свойство упрощается, так как боковые стороны равны, и основания также связаны между собой. Средняя линия трапеции, по условию, равна 24. Средняя линия — это полусумма оснований трапеции. Используя факт, что в трапецию вписана окружность, можно выразить боковую сторону через среднюю линию. Далее, для нахождения радиуса, проводим высоту трапеции из вершины верхнего основания на нижнее. Получаем прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 60°. Используя тригонометрические функции (синус или косинус), можно выразить высоту трапеции через боковую сторону и угол. Поскольку высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, мы можем найти радиус. Последовательно применяя эти рассуждения и формулы, мы находим, что радиус окружности равен $$6\sqrt{3}$$.