В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Дано: Равнобедренная трапеция ABCD Периметр P = 180 Площадь S = 1620 В трапецию вписана окружность Найти: Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания. Решение: 1. **Свойство трапеции, в которую вписана окружность:** В трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Пусть основания трапеции a и b, а боковая сторона c. Тогда, для нашей трапеции, a + b = 2c, а периметр P = a + b + 2c = 2(a+b) = 180, откуда a+b=90 и c = 45. Так как трапеция равнобедренная, то обе боковые стороны равны. 2. **Высота трапеции:** Так как в трапецию вписана окружность, высота трапеции равна диаметру этой окружности. Площадь трапеции выражается формулой S = (a+b)/2 * h. Так как a+b = 90, то 1620 = 90/2 * h, откуда h = 1620 * 2 / 90 = 36. 3. **Отношение отрезков диагоналей:** Точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ на два отрезка. Отношение длин этих отрезков равно отношению длин оснований трапеции. Пусть O - точка пересечения диагоналей, h - высота трапеции, h1 - расстояние от точки О до меньшего основания, h2 - расстояние от точки О до большего основания. Тогда h1 + h2 = h, и h1/h2 = b/a, где b - меньшее основание, a - большее основание. 4. **Подобие треугольников:** Рассмотрим треугольники, образованные диагоналями и основаниями. Треугольники, образованные пересечением диагоналей и основаниями, являются подобными, следовательно, их высоты относятся так же как и основания. 5. **Высоты в трапеции:** Из условия, что в трапецию вписана окружность, следует, что высота трапеции равна $$h=2r$$, где r - радиус вписанной окружности. Также известно, что $$S = rac{a+b}{2} cdot h$$ или $$S = rac{a+b}{2} cdot 2r$$. Из условия $$S = 1620$$ и $$a+b=90$$, получаем $$1620 = rac{90}{2} cdot h$$, откуда h = 36. 6. **Нахождение оснований:** Поскольку трапеция равнобедренная и в нее вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон. Таким образом, a+b=2c, где c - боковая сторона. Из периметра $$180 = a+b+2c$$, следует $$a+b=2c$$. Получаем $$a+b = 90$$, и $$180=2(a+b)$$. Так как в трапецию вписана окружность, то высота $$h=2r$$. Имеем, что $$1620 = rac{a+b}{2} cdot h = 45 cdot h$$, откуда h = 36. 7. **Расстояние от точки пересечения до меньшего основания:** Учитывая, что треугольники, образованные основаниями и диагоналями, подобны, и их высоты относятся также как основания, а высота трапеции 36, то высота от точки пересечения диагоналей до большего основания равна $$h_1 = rac{a cdot h}{a+b} = rac{a}{a+b} cdot 36$$ и высота до меньшего основания $$h_2 = rac{b cdot h}{a+b}= rac{b}{a+b} cdot 36$$. Зная, что $$a+b=90$$, $$h=36$$, а из свойства вписанной окружности $$a cdot b = (h/2)^2 = 18^2=324$$. Тогда $$h_2$$ = $$36rac{b}{a+b}$$. Т.к. $$a+b =90$$, нам нужно найти $$rac{b}{a+b}$$. Для равнобедренной трапеции в которую вписана окружность, отношение высоты к высоте от точки пересечения диагоналей до меньшего основания относится так же, как отношение большего основания к меньшему. Так как высота трапеции равна 36, то высота от точки пересечения до меньшего основания - это $$h cdot rac{b}{a+b}$$ и так же от точки пересечения до большего основания $$h cdot rac{a}{a+b}$$ т.е. их сумма это $$h = 36$$. Из того, что $$S = 1620 = rac{a+b}{2} h$$, получаем $$h = rac{2 cdot 1620}{90} = 36$$. Высота трапеции - h=36. Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания будет равно $$h_2 = h rac{b}{a+b}$$. Из свойства трапеции, в которую вписана окружность: $$acdot b = (h/2)^2$$. Из этого $$acdot b = 18^2 = 324$$ и $$a+b=90$$. Пусть b = х, тогда а= 90-х. Получим уравнение: x(90-x)=324. Решив его, получим x=36 и x=9. Т.е. основания 36 и 9. Тогда искомое расстояние $$36 cdot rac{9}{9+81}=36 cdot rac{9}{90}=36 cdot rac{1}{10}=3.6$$ , а расстояние до большего $$36 cdot rac{81}{90} = 36 cdot rac{9}{10}=32.4$$ 8. **Ответ:** Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания равно 3.6. Ответ: 3.6