В равнобедренную трапецию вписана окружность. Вычисли боковую сторону трапеции AB и радиус окружности, вписанной в трапецию, если её основания равны 4 и 8.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. 1. Свойство описанного четырехугольника: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. В нашем случае, трапеция ABCD - равнобедренная, следовательно, AB = CD. Пусть AB = CD = x. Тогда: AB + CD = BC + AD x + x = 4 + 8 2x = 12 x = 6 Таким образом, боковая сторона трапеции AB равна 6. 2. Высота трапеции и радиус вписанной окружности: Поскольку в трапецию вписана окружность, высота трапеции равна диаметру этой окружности. Опустим высоту BH из вершины B на основание AD. Тогда AH = (AD - BC) / 2 = (8 - 4) / 2 = 2. 3. Находим высоту трапеции (и диаметр окружности): В прямоугольном треугольнике ABH, по теореме Пифагора, имеем: (BH^2 + AH^2 = AB^2) (BH^2 + 2^2 = 6^2) (BH^2 + 4 = 36) (BH^2 = 32) (BH = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}) Итак, высота трапеции (BH = 4\sqrt{2}). Это равно диаметру вписанной окружности. 4. Радиус вписанной окружности: Радиус равен половине диаметра: (r = \frac{BH}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}) Таким образом, радиус вписанной окружности равен (2\sqrt{2}). Ответ: Сторона трапеции AB = 6 Радиус окружности r = (2\sqrt{2})