В равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

1. Разбор задачи:

У нас есть равнобедренный треугольник. Известны длина его основания и периметр. В этот треугольник вписана окружность. Нам нужно найти радиус этой вписанной окружности.

2. Находим длину боковой стороны:

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Пусть основание равно a, а боковые стороны равны b.

Периметр P = a + 2b

Нам дано: a = 12 см, P = 32 см.

Подставляем значения:

32 = 12 + 2b

2b = 32 - 12

2b = 20

b = 20 / 2

b = 10 см

Итак, стороны треугольника равны 12 см, 10 см, 10 см.

3. Находим высоту треугольника:

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит его пополам. Она также является медианой и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой (h), половиной основания (12/2 = 6 см) и боковой стороной (10 см). Применим теорему Пифагора:

h² + 6² = 10²

h² + 36 = 100

h² = 100 - 36

h² = 64

h = √64

h = 8 см

4. Находим площадь треугольника:

Площадь треугольника (S) равна половине произведения основания на высоту:

S = (1/2) * a * h

S = (1/2) * 12 * 8

S = 6 * 8

S = 48 см²

5. Находим радиус вписанной окружности:

Существует формула, связывающая площадь треугольника, его полупериметр (p) и радиус вписанной окружности (r):

S = p * r

Сначала найдем полупериметр:

p = P / 2

p = 32 / 2

p = 16 см

Теперь найдем радиус:

r = S / p

r = 48 / 16

r = 3 см

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 3 см.