Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если диагональ равна 12 см, а боковая сторона - 9 см.

Пусть $$ABCD$$ - равнобедренная трапеция, где $$AB = CD$$ - боковые стороны, $$AC$$ - диагональ, и $$AC \perp CD$$. Около трапеции можно описать окружность. Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, то есть $$\angle BAC = \angle CAD$$.

Так как $$AC \perp CD$$, то $$\angle ACD = 90^circ$$. В прямоугольном треугольнике $$ACD$$, где $$AC = 12$$ и $$CD = 9$$, можно найти $$AD$$ по теореме Пифагора:

$$AD^2 = AC^2 + CD^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$$

Следовательно, $$AD = \sqrt{225} = 15$$ см. Так как $$AD$$ является диаметром описанной окружности (угол $$ACD$$ опирается на диаметр), то радиус окружности равен половине диаметра.

Радиус описанной окружности $$R = \frac{AD}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$$ см.

Ответ: Радиус окружности, описанной около трапеции, равен 7.5 см.