В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите угол MPN.

Давайте решим эту задачу по геометрии. 1. **Понимание условия.** - Дан равносторонний треугольник ABC. - CN и AM - биссектрисы углов C и A соответственно. - Биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. - Нужно найти угол MPN. 2. **Свойства равностороннего треугольника.** - В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. То есть ∠A = ∠B = ∠C = 60°. 3. **Биссектрисы.** - Биссектриса делит угол пополам. Следовательно, ∠ACN = ∠NCB = 60° / 2 = 30°, и ∠CAM = ∠MAB = 60° / 2 = 30°. 4. **Рассмотрим треугольник APC.** - В треугольнике APC известны два угла: ∠PAC = 30° и ∠PCA = 30°. - Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠APC = 180° - (∠PAC + ∠PCA) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°. 5. **Угол MPN является вертикальным углом к углу APC.** - Вертикальные углы равны. Следовательно, ∠MPN = ∠APC = 120°. **Ответ:** Угол MPN равен 120 градусам. **Развернутый ответ для школьника:** Представь себе равносторонний треугольник, у которого все углы одинаковые и равны 60 градусам. Теперь проведи линии, которые делят углы A и C пополам. Эти линии называются биссектрисами. Они пересекаются в точке P. Теперь, чтобы найти угол MPN, нужно вспомнить, что биссектрисы делят углы A и C пополам, поэтому углы PAC и PCA будут равны 30 градусам каждый (так как 60 / 2 = 30). Затем рассмотри треугольник APC. В этом треугольнике ты знаешь два угла (30 и 30 градусов). Чтобы найти третий угол (APC), нужно из 180 градусов (сумма всех углов в треугольнике) вычесть сумму известных углов (30 + 30 = 60). Получается, угол APC равен 180 - 60 = 120 градусам. И, наконец, угол MPN – это угол, который находится напротив угла APC (они вертикальные). Вертикальные углы всегда равны, поэтому угол MPN тоже равен 120 градусам.