В равностороннем треугольнике \(ABC\) медианы \(AM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(P\). Найдите длину стороны \(AB\), если \(PM = 2\sqrt{3}\).

В равностороннем треугольнике все медианы равны и пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что точка пересечения медиан делит каждую медиану на два отрезка, один из которых в два раза длиннее другого. В нашем случае \(PM\) - это меньший отрезок медианы \(AM\). Поскольку \(PM = 2\sqrt{3}\), то отрезок \(AP\) будет в два раза длиннее, то есть \(AP = 2 cdot PM = 2 cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\). Следовательно, вся медиана \(AM\) равна сумме отрезков \(AP\) и \(PM\): \[AM = AP + PM = 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}.\] Медиана в равностороннем треугольнике является также и высотой. Если сторона треугольника равна \(a\), то высота \(h\) (или медиана) может быть выражена как: \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\] В нашем случае, \(AM = h = 6\sqrt{3}\). Подставим это значение в формулу: \[6\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\] Чтобы найти сторону \(a\), умножим обе стороны уравнения на 2 и разделим на \(\sqrt{3}\): \[a = \frac{2 cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 cdot 6 = 12.\] Таким образом, длина стороны \(AB\) равна 12. Ответ: 12