5. В равностороннем треугольнике ABC проведена медиана BM, которая равна (24\sqrt{3}). Вычислите периметр этого треугольника.

В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к любой стороне, также является высотой и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM, где BM - медиана (и высота), AB - сторона равностороннего треугольника, а AM - половина стороны AC.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна a. Тогда AM = a/2. Используем теорему Пифагора для треугольника ABM:

$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

$$a^2 = (\frac{a}{2})^2 + (24\sqrt{3})^2$$

$$a^2 = \frac{a^2}{4} + 24^2 \cdot 3$$

$$a^2 = \frac{a^2}{4} + 576 \cdot 3$$

$$a^2 = \frac{a^2}{4} + 1728$$

Умножим обе части уравнения на 4:

$$4a^2 = a^2 + 6912$$

$$3a^2 = 6912$$

$$a^2 = \frac{6912}{3}$$

$$a^2 = 2304$$

$$a = \sqrt{2304}$$

$$a = 48$$

Сторона равностороннего треугольника равна 48.

Периметр равностороннего треугольника равен (3a):

$$P = 3 \cdot 48 = 144$$

Ответ: 144