31. В равностороннем треугольнике АВС биссектрисы CN и АМ пересекаются в точке Р. Найдите ∠MPN.

Так как треугольник ABC равносторонний, то все углы равны 60°.

Биссектрисы CN и AM делят углы C и A пополам. Следовательно, углы NAC и NCA равны по 30°.

Рассмотрим треугольник APC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠APC = 180° - ∠NAC - ∠NCA.

Подставим значения: ∠APC = 180° - 30° - 30° = 120°.

Углы APC и MPN - вертикальные, следовательно, они равны. ∠MPN = ∠APC = 120°.

Ответ: 120.