3.В равностороннем треугольнике АВС точки M, N, K – середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что BMKN — ромб.

Доказательство:

1. Т.к. M и N - середины сторон AB и BC соответственно, то MN - средняя линия треугольника ABC.
2. Т.к. MN - средняя линия треугольника ABC, то MN || AC и MN = 1/2 AC.
3. Т.к. треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = CA.
4. Т.к. M и N - середины сторон AB и BC, то BM = 1/2 AB и BN = 1/2 BC. Следовательно, BM = BN = MN = 1/2 AC.
5. Т.к. BM = MN = 1/2 AC и MN || AC, то BMKN - параллелограмм с равными сторонами, т.е. ромб.

Что и требовалось доказать.