В ромбе ABCD ∠A = 60°, а высота равна $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$. На продолжении стороны AB за точку B взята точка M, BM = 4. Отрезок MD пересекает BC в точке K. В каком отношении точка K делит отрезок BC?

Пусть сторона ромба равна $$a$$. Высота ромба, проведенная из вершины $$B$$ к стороне $$AD$$, равна $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$. Так как угол $$A$$ равен $$60^{\circ}$$, то высота ромба равна $$a \sin 60^{\circ} = a \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Следовательно,

$$ a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

Отсюда, $$a = 3$$. Значит, $$AB = BC = CD = DA = 3$$.

Пусть $$BK = x$$, тогда $$KC = 3 - x$$. Рассмотрим треугольники $$MBK$$ и $$CDK$$. Угол $$MBK$$ равен углу $$DCK$$ (как углы ромба). Угол $$BKM$$ равен углу $$CKD$$ (как вертикальные углы). Следовательно, треугольники $$MBK$$ и $$CDK$$ подобны по двум углам.

Тогда, $$\frac{MB}{CD} = \frac{BK}{KC}$$. Имеем $$MB = AB + BM = 3 + 4 = 7$$, $$CD = 3$$, $$BK = x$$, $$KC = 3 - x$$. Подставляем известные значения в пропорцию:

$$ \frac{7}{3} = \frac{x}{3 - x} $$

Решаем полученное уравнение:

$$ 7(3 - x) = 3x $$ $$ 21 - 7x = 3x $$ $$ 10x = 21 $$ $$ x = 2.1 $$

Тогда $$BK = 2.1$$, $$KC = 3 - 2.1 = 0.9$$. Находим отношение $$BK : KC = 2.1 : 0.9 = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$$.

Ответ: Точка $$K$$ делит отрезок $$BC$$ в отношении $$7:3$$, считая от точки $$B$$.