4.*В ромбе АBCD АК — биссектриса угла САВ, ∠BAD = 60°, ВК = 12 см. Найдите площадь ромба.

Пусть сторона ромба равна a. Т.к. ∠BAD = 60°, то ∠BAC = ∠CAD = 30° (АК - биссектриса). Значит, ∠ABK = 180° - 60° = 120°.

В треугольнике ABK по теореме синусов имеем:

$$\frac{BK}{\sin∠BAK} = \frac{AB}{\sin∠AKB}$$

$$\frac{12}{\sin 30°} = \frac{a}{\sin∠AKB}$$

∠AKB = 180° - 120° - 30° = 30°

$$\frac{12}{1/2} = \frac{a}{1/2}$$

$$24 = 2a$$

$$a = 12 \text{ см}$$

Площадь ромба можно найти по формуле:

$$S = a^2 \sin∠BAD$$

$$S = 12^2 \sin 60° = 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 72\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ: Площадь ромба равна $$72\sqrt{3}$$ см².