В ромбе ABCD диагональ AC = 4√39, диагональ BD = 20. Найдите синус угла ВАС.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O. Тогда \( AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \sqrt{39} = 2 \sqrt{39} \) и \( BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} 20 = 10 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABO \). По теореме Пифагора найдём длину стороны ромба \( AB \):

\[ AB^2 = AO^2 + BO^2 = (2 \sqrt{39})^2 + 10^2 = 4 39 + 100 = 156 + 100 = 256 \]

\[ AB = \sqrt{256} = 16 \]

В прямоугольном треугольнике \( ABO \) синус угла \( BAC \) равен отношению противолежащего катета \( BO \) к гипотенузе \( AB \):

\[ \sin(\angle BAC) = \frac{BO}{AB} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \]

Ответ: 5/8.