9. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей – $$10\sqrt{3}$$, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен 60°. Найдите площадь ромба, деленную на $$\sqrt{3}$$.

В ромбе известна сторона (a = 10), одна из диагоналей (d_1 = 10\sqrt{3}) и угол, из которого выходит эта диагональ, равен 60°. Нужно найти площадь ромба, деленную на (\sqrt{3}).

Площадь ромба можно вычислить через его диагонали:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$

Нам известна диагональ (d_1 = 10\sqrt{3}), нужно найти (d_2).

Рассмотрим ромб (ABCD), где (AB = BC = CD = DA = 10). Пусть диагональ (AC = 10\sqrt{3}). Угол (\angle BAC = 60^\circ ). Рассмотрим треугольник (ABC). Так как (AB = BC = 10) и (AC = 10\sqrt{3}), то треугольник (ABC) равнобедренный.

Тогда, угол ( \angle ABC ) можно найти по теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 cdot AB cdot BC cdot \cos(\angle ABC)$$

$$(10\sqrt{3})^2 = 10^2 + 10^2 - 2 cdot 10 cdot 10 cdot \cos(\angle ABC)$$

$$300 = 100 + 100 - 200 \cos(\angle ABC)$$

$$300 = 200 - 200 \cos(\angle ABC)$$

$$100 = -200 \cos(\angle ABC)$$

$$\cos(\angle ABC) = -\frac{1}{2}$$

Значит, угол ( \angle ABC = 120^\circ ).

Теперь рассмотрим треугольник (ABO), где (O) - точка пересечения диагоналей. (AO = \frac{1}{2}AC = 5\sqrt{3}). (AB = 10). (BO = \frac{1}{2}BD). Угол ( \angle BAO = 30^\circ ) (так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов).

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AO^2 + BO^2$$

$$10^2 = (5\sqrt{3})^2 + BO^2$$

$$100 = 75 + BO^2$$

$$BO^2 = 25$$

$$BO = 5$$

Тогда диагональ (BD = 2 cdot BO = 10). (d_2 = 10).

Теперь найдем площадь ромба:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} cdot 10\sqrt{3} cdot 10 = 50\sqrt{3}$$

Найдем площадь ромба, деленную на (\sqrt{3}):

$$\frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 50$$