Решение задачи:

Пусть (d_1) и (d_2) - диагонали ромба, где (d_1 > d_2). Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей: (S = \frac{1}{2} d_1 d_2). Также площадь ромба равна произведению высоты на сторону: (S = h \cdot a), где (h) - высота, а (a) - сторона ромба.

Дано, что высота ромба (h = \frac{4\sqrt{2}}{6}) см, и она составляет $$\frac{2}{3}$$ большей диагонали, то есть:

$$h = \frac{2}{3} d_1$$ $$\frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2}{3} d_1$$

Выразим отсюда большую диагональ (d_1):

$$d_1 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{12\sqrt{2}}{12} = \sqrt{2}$$

Итак, большая диагональ (d_1 = \sqrt{2}) см.

Теперь нам нужно найти меньшую диагональ (d_2). Для этого воспользуемся формулой площади ромба через высоту и сторону:

Мы знаем, что (h = \frac{4\sqrt{2}}{6}), и (h = \frac{2}{3}d_1), значит (S = a \cdot \frac{4\sqrt{2}}{6}).

Также (S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \sqrt{2} d_2). Приравняем оба выражения для площади:

$$a \cdot \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{1}{2} \sqrt{2} d_2$$

Для решения этой задачи нам не хватает информации о связи стороны ромба и его диагоналей. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам. Поэтому половина каждой диагонали и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Значит, можем записать:

$$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$

$$a^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{d_2^2}{4}$$

Выразим сторону ромба (а) через площадь и высоту: (a = \frac{S}{h} = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}d_2}{\frac{4\sqrt{2}}{6}} = \frac{3d_2}{4})

Подставим это в уравнение для (a^2):

$$(\frac{3d_2}{4})^2 = \frac{1}{2} + \frac{d_2^2}{4}$$

$$\frac{9d_2^2}{16} = \frac{1}{2} + \frac{d_2^2}{4}$$

Умножим обе части на 16:

$$9d_2^2 = 8 + 4d_2^2$$

$$5d_2^2 = 8$$

$$d_2^2 = \frac{8}{5}$$

$$d_2 = \sqrt{\frac{8}{5}} = 2\sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$$

Теперь найдем площадь ромба:

$$S = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{10}}{5} = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Площадь ромба: (S = \frac{2\sqrt{5}}{5}) см(^2).