4. В шар радиуса 17 см вписана правильная четырёхугольная призма, её высота 30 см. Найдите объем призмы.

Ответ: Объем призмы равен 7200 см³.

Решение:

Радиус шара R = 17 см, высота призмы h = 30 см.

Пусть сторона основания призмы равна a. Так как призма правильная четырехугольная, то в основании лежит квадрат.

Диагональ основания призмы (квадрата) равна \(d = a\sqrt{2}\).

Радиус шара R, половина диагонали основания \(\frac{d}{2}\) и половина высоты призмы \(\frac{h}{2}\) образуют прямоугольный треугольник, где R - гипотенуза. По теореме Пифагора:

\[R^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{h}{2})^2\] \[17^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{30}{2})^2\] \[289 = \frac{2a^2}{4} + 225\] \[\frac{a^2}{2} = 289 - 225 = 64\] \[a^2 = 128\] \[a = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \text{ см}\]

Площадь основания призмы (квадрата):

\[S = a^2 = (8\sqrt{2})^2 = 128 \text{ см}^2\]

Объем призмы:

\[V = S \cdot h = 128 \cdot 30 = 3840 \text{ см}^3\]

Объем призмы равен 3840 см³.

Ответ: Объем призмы равен 3840 см³.