В школьном буфете одна чашка чая, два пирожка и три конфеты стоят 50 руб., три чашки чая, два пирожка и одна конфета - 30 руб. Сколько рублей заплатит мальчик в школьном буфете за покупку одной чашки чая, одного пирожка и одной конфеты? Запиши решение и ответ.

Обозначим цену чашки чая за $$x$$, цену пирожка за $$y$$, а цену конфеты за $$z$$. Тогда, исходя из условия задачи, мы можем составить систему уравнений: $$\begin{cases} x + 2y + 3z = 50 \\ 3x + 2y + z = 30 \end{cases}$$ Вычтем из второго уравнения первое: $$(3x + 2y + z) - (x + 2y + 3z) = 30 - 50$$ $$2x - 2z = -20$$ $$x - z = -10$$ $$x = z - 10$$ Теперь выразим $$x$$ через $$z$$ и подставим в первое уравнение: $$(z - 10) + 2y + 3z = 50$$ $$4z + 2y - 10 = 50$$ $$4z + 2y = 60$$ $$2z + y = 30$$ $$y = 30 - 2z$$ Теперь выразим $$y$$ через $$z$$ и подставим в первое уравнение: $$x + 2(30 - 2z) + 3z = 50$$ $$x + 60 - 4z + 3z = 50$$ $$x - z = -10$$ (уже было) Подставим $$x = z - 10$$ и $$y = 30 - 2z$$ во второе уравнение: $$3(z - 10) + 2(30 - 2z) + z = 30$$ $$3z - 30 + 60 - 4z + z = 30$$ $$0z + 30 = 30$$ $$0z = 0$$ Это значит, что $$z$$ может быть любым. Но так как цены должны быть положительными, то $$z > 0$$. Так как $$y = 30 - 2z > 0$$, то $$2z < 30$$, следовательно, $$z < 15$$. Также, $$x = z - 10 > 0$$, то $$z > 10$$. Итого, $$10 < z < 15$$. Предположим, что цена конфеты $$z = 11$$ руб. Тогда: $$x = z - 10 = 11 - 10 = 1$$ руб. $$y = 30 - 2z = 30 - 2(11) = 30 - 22 = 8$$ руб. Проверим: $$1 + 2(8) + 3(11) = 1 + 16 + 33 = 50$$ руб. $$3(1) + 2(8) + 11 = 3 + 16 + 11 = 30$$ руб. Значит, цена одной чашки чая, одного пирожка и одной конфеты будет: $$x + y + z = 1 + 8 + 11 = 20$$ руб. Предположим, что цена конфеты $$z = 12$$ руб. Тогда: $$x = z - 10 = 12 - 10 = 2$$ руб. $$y = 30 - 2z = 30 - 2(12) = 30 - 24 = 6$$ руб. Проверим: $$2 + 2(6) + 3(12) = 2 + 12 + 36 = 50$$ руб. $$3(2) + 2(6) + 12 = 6 + 12 + 12 = 30$$ руб. Значит, цена одной чашки чая, одного пирожка и одной конфеты будет: $$x + y + z = 2 + 6 + 12 = 20$$ руб. Предположим, что цена конфеты $$z = 13$$ руб. Тогда: $$x = z - 10 = 13 - 10 = 3$$ руб. $$y = 30 - 2z = 30 - 2(13) = 30 - 26 = 4$$ руб. Проверим: $$3 + 2(4) + 3(13) = 3 + 8 + 39 = 50$$ руб. $$3(3) + 2(4) + 13 = 9 + 8 + 13 = 30$$ руб. Значит, цена одной чашки чая, одного пирожка и одной конфеты будет: $$x + y + z = 3 + 4 + 13 = 20$$ руб. Предположим, что цена конфеты $$z = 14$$ руб. Тогда: $$x = z - 10 = 14 - 10 = 4$$ руб. $$y = 30 - 2z = 30 - 2(14) = 30 - 28 = 2$$ руб. Проверим: $$4 + 2(2) + 3(14) = 4 + 4 + 42 = 50$$ руб. $$3(4) + 2(2) + 14 = 12 + 4 + 14 = 30$$ руб. Значит, цена одной чашки чая, одного пирожка и одной конфеты будет: $$x + y + z = 4 + 2 + 14 = 20$$ руб. В любом случае, стоимость одной чашки чая, одного пирожка и одной конфеты равна 20 рублям. Ответ: 20 рублей.