В скольких точках пересекаются 12 прямых, из которых ровно 5 параллельны друг другу и никакие три не проходят через 1 точку?

Общее количество точек пересечения n прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке, равно $$ \frac{n(n-1)}{2}$$.

Если бы все 12 прямых пересекались, то количество точек пересечения было бы равно $$\frac{12(12-1)}{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$$.

Но у нас 5 параллельных прямых. Они между собой не пересекаются. Количество точек пересечения 5 прямых равно $$\frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$.

Поскольку 5 параллельных прямых между собой не пересекаются, то из общего количества нужно вычесть эти 10 точек.

Однако, эти 5 параллельных прямых пересекаются с оставшимися 7 прямыми. Каждая из 5 прямых пересекает 7 других прямых, то есть всего 5 × 7 = 35 точек пересечения.

Итоговое количество точек пересечения равно (66 - 10) = 56. Но нам надо добавить 35 точек пересечения параллельных прямых с оставшимися прямыми. 56 - (10-35) = 56 - (-25) = 56 + 25 = 81 - вычитаем только те пересечения, которых нет.

Число точек пересечения = 66 -10 = 56

Каждая из 5 прямых должна пересечь 7 других прямых: 5 * 7 = 35

35 + 10 = 45 - но 10 мы уже учли.

То есть, 7 точек пересечения должны пересечься - 7 * 6/2 = 21

35+21 = 56 точек пересечения.

Ответ: 46 точек пересечения.