В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 50 выстрелов стрелок получал два штрафных очка, за каждый последующий промах - на 0,5 штрафных очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 30 штрафных очков?

Пусть х - количество промахов стрелка, тогда штрафные очки составят: $$2 + 2.5 + 3 + ... + (1.5 + 0.5x)$$ Сумма арифметической прогрессии: $$S_x = \frac{2 + (1.5 + 0.5x)}{2} \cdot x$$ $$S_x = \frac{3.5 + 0.5x}{2} \cdot x$$ По условию, $$S_x = 30$$, тогда: $$\frac{3.5 + 0.5x}{2} \cdot x = 30$$ $$(3.5 + 0.5x) \cdot x = 60$$ $$3.5x + 0.5x^2 = 60$$ $$0.5x^2 + 3.5x - 60 = 0$$ $$x^2 + 7x - 120 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529$$ $$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 - 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$ (не подходит, т.к. количество промахов не может быть отрицательным) Итак, стрелок допустил 8 промахов. Всего было 50 выстрелов, значит, стрелок попал в цель: $$50 - 8 = 42$$

Ответ: 42