7. В сосуд с водой, имеющей температуру 0 °С, впустили 1 кг стоградусного водяного пара. Через некоторое время в сосуде установилась температура 20 °С. Определите массу воды, первоначально находящейся в сосуде.

Для решения данной задачи необходимо составить уравнение теплового баланса. Водяной пар конденсируется и охлаждается до 20 °C, передавая тепло воде, которая нагревается до 20 °C.

Обозначим:

• $$m_{\text{пара}} = 1 \text{ кг}$$ - масса водяного пара;
• $$t_{\text{пара}} = 100 ^\circ\text{C}$$ - температура водяного пара;
• $$t_{\text{конечная}} = 20 ^\circ\text{C}$$ - конечная температура смеси;
• $$m_{\text{воды}}$$ - масса воды, первоначально находящейся в сосуде;
• $$t_{\text{воды}} = 0 ^\circ\text{C}$$ - начальная температура воды;
• $$L = 2.26 \times 10^6 \text{ Дж/кг}$$ - удельная теплота парообразования воды;
• $$c = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot ^\circ\text{C)}$$ - удельная теплоёмкость воды.

Тепло, отданное паром при конденсации и охлаждении:

$$Q_{\text{отданное}} = L \times m_{\text{пара}} + c \times m_{\text{пара}} \times (t_{\text{пара}} - t_{\text{конечная}})$$

Тепло, полученное водой при нагревании:

$$Q_{\text{полученное}} = c \times m_{\text{воды}} \times (t_{\text{конечная}} - t_{\text{воды}})$$

Уравнение теплового баланса:

$$Q_{\text{отданное}} = Q_{\text{полученное}}$$ $$L \times m_{\text{пара}} + c \times m_{\text{пара}} \times (t_{\text{пара}} - t_{\text{конечная}}) = c \times m_{\text{воды}} \times (t_{\text{конечная}} - t_{\text{воды}})$$

Решим уравнение относительно $$m_{\text{воды}}$$.

$$m_{\text{воды}} = \frac{L \times m_{\text{пара}} + c \times m_{\text{пара}} \times (t_{\text{пара}} - t_{\text{конечная}})}{c \times (t_{\text{конечная}} - t_{\text{воды}})}$$

Подставим значения:

$$m_{\text{воды}} = \frac{2.26 \times 10^6 \text{ Дж/кг} \times 1 \text{ кг} + 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot ^\circ\text{C)} \times 1 \text{ кг} \times (100 ^\circ\text{C} - 20 ^\circ\text{C)}}{4200 \text{ Дж/(кг} \cdot ^\circ\text{C)} \times (20 ^\circ\text{C} - 0 ^\circ\text{C})} = \frac{2260000 \text{ Дж} + 336000 \text{ Дж}}{84000 \text{ Дж/кг}} = \frac{2596000 \text{ Дж}}{84000 \text{ Дж/кг}} ≈ 30.9 \text{ кг}$$

Ответ: 30.9 кг