В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает \(\frac{2}{3}\) высоты. Объём жидкости равен 120 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Рассмотрим задачу по геометрии, связанную с объемом конуса. Нам нужно найти, сколько миллилитров жидкости необходимо долить в конусообразный сосуд, чтобы заполнить его доверху, зная, что текущий объем жидкости составляет 120 мл и достигает \(\frac{2}{3}\) высоты конуса. 1. Обозначения и формулы: - Пусть \(V\) – объем всего конуса. - Пусть \(h\) – высота всего конуса. - Пусть \(V_{тек}\) – текущий объем жидкости (120 мл). - Пусть \(h_{тек}\) – текущая высота жидкости, которая составляет \(\frac{2}{3}h\). - Формула объема конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) – радиус основания конуса. 2. Связь между объемами и высотами: Поскольку конус заполнен до \(\frac{2}{3}\) высоты, его радиус также будет \(\frac{2}{3}\) от радиуса всего конуса (так как радиус линейно зависит от высоты в конусе). Тогда, если радиус всего конуса – \(R\), то радиус заполненной части – \(\frac{2}{3}R\). Объем заполненной части конуса: \[ V_{тек} = \frac{1}{3} \pi (\frac{2}{3}R)^2 (\frac{2}{3}h) = \frac{1}{3} \pi \frac{4}{9}R^2 \frac{2}{3}h = \frac{8}{81} \pi R^2 h \] А объем всего конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \] 3. Выражение объема заполненной части через объем всего конуса: \[ V_{тек} = \frac{8}{81} \pi R^2 h = \frac{8}{27} (\frac{1}{3} \pi R^2 h) = \frac{8}{27} V \] 4. Нахождение объема всего конуса: Мы знаем, что \(V_{тек} = 120\) мл. Тогда: \[ 120 = \frac{8}{27} V \] Отсюда находим \(V\): \[ V = \frac{120 \cdot 27}{8} = 15 \cdot 27 = 405 \text{ мл} \] 5. Расчет объема, который нужно долить: Чтобы найти, сколько нужно долить, вычтем текущий объем из общего объема: \[ V_{долить} = V - V_{тек} = 405 - 120 = 285 \text{ мл} \] Таким образом, чтобы полностью наполнить сосуд, нужно долить 285 мл жидкости.