В тетраэдре ABCD точки M, N и K — середины ребер AC, BC и CD соответственно, AB = 3 см, BC = 4 см, BD = 5 см. Найдите длины векторов: a) AB, BC, BD, NM, BN, NK; б) CB, BA, DB, NC, KN.

Решение:

а) Даны длины сторон тетраэдра:

• $$|\vec{AB}| = 3$$ см
• $$|\vec{BC}| = 4$$ см
• $$|\vec{BD}| = 5$$ см

Найдем длины остальных векторов.

Так как M и N - середины AC и BC, то NM - средняя линия треугольника ABC, следовательно:

$$|\vec{NM}| = \frac{1}{2} |\vec{AB}| = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$$ см

Так как N - середина BC, то:

$$|\vec{BN}| = \frac{1}{2} |\vec{BC}| = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$ см

Так как N и K - середины BC и CD, то NK - средняя линия треугольника BCD, следовательно:

$$|\vec{NK}| = \frac{1}{2} |\vec{BD}| = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$$ см

б) Найдем длины векторов:

• $$|\vec{CB}| = |\vec{BC}| = 4$$ см
• $$|\vec{BA}| = |\vec{AB}| = 3$$ см
• $$|\vec{DB}| = |\vec{BD}| = 5$$ см

Так как N - середина BC, то:

$$|\vec{NC}| = \frac{1}{2} |\vec{BC}| = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$ см

Так как K - середина CD, то:

$$|\vec{CK}| = \frac{1}{2} |\vec{CD}|$$

С другой стороны, KN - средняя линия треугольника BCD, поэтому $$|\vec{KN}| = \frac{1}{2} |\vec{BD}| = 2.5$$ см

Ответ:

а) $$|\vec{AB}| = 3$$ см, $$|\vec{BC}| = 4$$ см, $$|\vec{BD}| = 5$$ см, $$|\vec{NM}| = 1.5$$ см, $$|\vec{BN}| = 2$$ см, $$|\vec{NK}| = 2.5$$ см

б) $$|\vec{CB}| = 4$$ см, $$|\vec{BA}| = 3$$ см, $$|\vec{DB}| = 5$$ см, $$|\vec{NC}| = 2$$ см, $$|\vec{KN}| = 2.5$$ см