В тетраэдре DABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины рёбер DA, DB и DC соответственно. а) Докажите подобие треугольников ABC и A₁B₁C₁. б) Найдите площадь треугольника A₁B₁C₁, если площадь треугольника ABC равна 44 см².

а) Так как A₁ и B₁ — середины рёбер DA и DB, то отрезок A₁B₁ является средней линией треугольника DAB. Поэтому A₁B₁ ∥ AB и A₁B₁ = \(\frac{1}{2}\)AB.

Аналогично:

• A₁C₁ ∥ AC и A₁C₁ = \(\frac{1}{2}\)AC;
• B₁C₁ ∥ BC и B₁C₁ = \(\frac{1}{2}\)BC.

Следовательно, соответствующие стороны треугольников пропорциональны:

\(\frac{A₁B₁}{AB}=\frac{A₁C₁}{AC}=\frac{B₁C₁}{BC}=\frac{1}{2}.\)

Значит, \(\triangle A₁B₁C₁ \sim \triangle ABC\) по трём сторонам. Коэффициент подобия равен \(\frac{1}{2}\).

б) Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

\(\frac{S_{A₁B₁C₁}}{S_{ABC}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.\)

Тогда:

\(S_{A₁B₁C₁}=44\cdot\frac{1}{4}=11\text{ см}^2.\)

Ответ: а) \(\triangle A₁B₁C₁ \sim \triangle ABC\); б) 11 см².