В2. Точка М удалена от каждой стороны равнобедренной трапеции на расстояние, равное 16 см. Основания трапе- ции равны 18 см и 32 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции. Ответ:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AB = 18 см и CD = 32 см. Точка M равноудалена от каждой стороны трапеции на расстояние 16 см. Пусть O - проекция точки M на плоскость трапеции. Так как точка M равноудалена от сторон трапеции, то проекция O является центром вписанной окружности.

В равнобедренной трапеции можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Полупериметр трапеции:

$$p = \frac{AB + BC + CD + DA}{2} = \frac{18 + BC + 32 + DA}{2}$$

Так как трапеция равнобедренная, то BC = DA. И, так как в трапецию вписана окружность, то AB + CD = BC + DA:

$$18 + 32 = BC + DA = 2BC$$

$$50 = 2BC$$

$$BC = 25 \text{ см}$$

Тогда полупериметр трапеции:

$$p = \frac{18 + 25 + 32 + 25}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ см}$$

Площадь трапеции можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности r, который равен расстоянию от точки M до сторон трапеции (16 см):

$$S = p \cdot r = 50 \cdot 16 = 800 \text{ см}^2$$

Также площадь трапеции можно найти как полусумму оснований на высоту h:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{18 + 32}{2} \cdot h = 25h$$

Приравняем два выражения для площади трапеции:

$$25h = 800$$

$$h = \frac{800}{25} = 32 \text{ см}$$

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, значит радиус равен половине высоты:

$$r = \frac{h}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный расстоянием от точки M до плоскости трапеции (MO), радиусом вписанной окружности (r) и расстоянием от точки M до стороны трапеции (16 см). Так как точка M равноудалена от каждой стороны трапеции, то расстояние от точки M до плоскости трапеции является перпендикуляром, опущенным из точки M на плоскость трапеции.

Пусть x - расстояние от точки M до плоскости трапеции. Тогда:

$$x^2 + r^2 = 16^2$$

$$x^2 + 16^2 = 16^2$$

$$x^2 = 0$$

$$x = 0$$

Тогда расстояние от точки М до плоскости трапеции равно 0 см.

Ответ: 0 см