В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найти длину AD, если периметр трапеции 60 см.

Считаем основаниями трапеции AD и BC, поскольку AB названа боковой стороной. Так как AB ⟂ BD, треугольник ABD прямоугольный; ∠ADB = 30°, поэтому, обозначив AD через x, получаем AB = x/2 и BD = √3x/2.

Поскольку AD ∥ BC, из ∠ADB = 30° следует ∠DBC = 30°. В треугольнике BCD углы при B и D равны 30°, а угол C равен 120°. По теореме синусов CD = BD/2 = √3x/4 и BC = BD/√3 = x/2.

Периметр: x + x/2 + √3x/4 + x/2 = 60. Значит, x(2 + √3/4) = 60, откуда x = 240/(8 + √3) = (1920 − 240√3)/61.

Ответ: AD = 240/(8 + √3) см, приблизительно 26,75 см.