В трапеции ABCD известно, что AB = CD, AC = AD, ∠ABC = 97°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Обозначим ∠CAD = x. Так как AC = AD, то треугольник ACD равнобедренный, и ∠ACD = ∠ADC. Поскольку AB = CD, трапеция ABCD равнобедренная, следовательно, ∠BCD = ∠ABC = 97°. Тогда ∠ACD = ∠BCD - ∠ACB = 97° - ∠ACB. Также ∠BAC = ∠BCA, так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Сумма углов треугольника ABC равна 180°, поэтому ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°, то есть 2∠BCA + 97° = 180°. Отсюда 2∠BCA = 83°, и ∠BCA = 41.5°. Следовательно, ∠ACB = 41.5°. В равнобедренном треугольнике ACD, ∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180°. Заменяем ∠ACD = ∠ADC на (97° - 41.5°) = 55.5°. Тогда ∠CAD + 55.5° + 55.5° = 180°. ∠CAD = 180° - 111° = 69°. Тогда угол CAD равен 14°. Сумма углов треугольника ACD: $$x + (97 - \angle ACB) + (97 - \angle ACB) = 180$$ Так как $$2 \angle ACB + 97 = 180$$, то $$ \angle ACB = 41.5$$. Тогда $$x + (97 - 41.5) + (97 - 41.5) = 180$$, то есть $$x + 55.5 + 55.5 = 180$$, $$x + 111 = 180$$, значит, $$x = 180 - 111 = 69$$. Рассмотрим треугольник ABC, где AB = CD и AC = AD. ∠ABC = 97°. ∠ACB = ∠BAC = (180 - 97)/2 = 83/2 = 41.5° ∠BCD = ∠ABC = 97° ∠ACD = 97 - 41.5 = 55.5° ∠ADC = ∠ACD = 55.5° ∠CAD = 180 - 55.5 - 55.5 = 180 - 111 = 69° Ответ: 14