Решение:

1. Выразим вектор $$\vec{BC}$$ через $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$. Так как AD = 3BC, то BC = $$\frac{1}{3}$$AD. В трапеции ABCD: $$\vec{BC} = \frac{1}{3}\vec{AD}$$. Следовательно, $$\vec{BC} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD})$$. Так как $$\vec{BA} = \vec{a}$$, то $$\vec{AB} = -\vec{a}$$. По условию $$\vec{CD} = \vec{b}$$. Тогда $$\vec{BC} = \frac{1}{3}(-\vec{a} + \vec{BC} + \vec{b})$$. Умножим обе части уравнения на 3: $$3\vec{BC} = -\vec{a} + \vec{BC} + \vec{b}$$. Выразим $$\vec{BC}$$: $$2\vec{BC} = -\vec{a} + \vec{b}$$. Окончательно, $$\vec{BC} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$.
2. Выразим вектор $$\vec{CK}$$ через $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$. $$\vec{CK} = \vec{CD} + \vec{DK}$$. Так как AK = $$\frac{1}{3}$$AD, то KD = $$\frac{2}{3}$$AD. Следовательно, $$\vec{DK} = -\frac{2}{3}\vec{AD}$$. $$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = -\vec{a} + \vec{BC} + \vec{b} = -\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{b} = -\frac{3}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}$$. Тогда $$\vec{DK} = -\frac{2}{3}(-\frac{3}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$$. Следовательно, $$\vec{CK} = \vec{CD} + \vec{DK} = \vec{b} + \vec{a} - \vec{b} = \vec{a}$$.
3. Выразим вектор $$\vec{KD}$$ через $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$. $$\vec{KD} = \frac{2}{3}\vec{AD}$$. $$\vec{AD} = -\frac{3}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}$$. Тогда $$\vec{KD} = \frac{2}{3}(-\frac{3}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}) = -\vec{a} + \vec{b}$$.

Ответ:

• $$\vec{CK} = 1\vec{a} + 0\vec{b}$$
• $$\vec{KD} = -1\vec{a} + 1\vec{b}$$
• $$\vec{BC} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$