8. В трапеции ABCD проведена высота Вн. Найди cos ∠CDA, если известно: AB=9, BC=6, AH = 5, HD = 13.

Для решения задачи найдем косинус угла ∠CDA в трапеции ABCD. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD, где BH - высота, HD = 13 - известная сторона, и нам нужно найти cos∠CDA. 2. Высота BH равна высоте трапеции. Для ее нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем AB = 9, AH = 5. По теореме Пифагора: $$BH^2 = AB^2 - AH^2$$ $$BH^2 = 9^2 - 5^2$$ $$BH^2 = 81 - 25$$ $$BH^2 = 56$$ $$BH = \sqrt{56}$$ 3. Теперь, когда известна высота BH и сторона HD, можно найти cos∠CDA в треугольнике BHD: $$cos∠CDA = \frac{HD}{BD}$$ 4. Сначала найдем BD, опять же по теореме Пифагора: $$BD^2 = BH^2 + HD^2$$ $$BD^2 = 56 + 13^2$$ $$BD^2 = 56 + 169$$ $$BD^2 = 225$$ $$BD = \sqrt{225}$$ $$BD = 15$$ 5. Теперь можно найти косинус угла: $$cos∠CDA = \frac{HD}{BD}$$ $$cos∠CDA = \frac{13}{15}$$ Ответ: $$\frac{13}{15}$$