4. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, BC: AD = 3:5, BD = 24 см. Найдите ВО и OD.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA.

Т.к. BC и AD - основания трапеции, то они параллельны.

∠BOC = ∠DOA как вертикальные.

∠CBO = ∠ADO как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} $$.

Обозначим ВО за 3x, тогда OD будет 5x.

Т.к. BD = 24 см, то BO + OD = 24 см.

Подставим в это уравнение: 3x + 5x = 24, 8x = 24, x = 3.

Следовательно, BO = 3 * 3 = 9 см, OD = 5 * 3 = 15 см.

Ответ: BO = 9 см, OD = 15 см